两直线距离公式怎么算（直线两点距离与斜率公式推导）

我们都知道平面上两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)的距离公式为

|AB|=

设A,B在直线L: y=kx+b上,那么将A,B点坐标代入直线方程,并化简得到

|AB|==|x₁-x₂|

接下来我们用向量点积的方式来获得直线上AB距离的公式:

我们知道斜率k= y2-y1/(x2-x1) ,设向量AB则向量AB=(x2-x1,y2-y1)是代表直线L的一个方向的向量, 现在我们只考察直线L的方向,找到一个向量能代表直线L, 因为

y2-y1/(x2-x1)=k/1 ,令x2-x1=1, y2-y1=k,所以我们设这样的一个向量m(1,k)就能代表直线L的方向向量. 我们知道向量AB的方向与m向量是同向的, 现在我们要求AB的长度,我们可以利用向量的点积公式:

向量AB.向量m=|向量AB||向量m|cos(α)

(α代表向量AB和向量m之间的夹角),因为向量AB和向量m同向或反向 存在α=0或α=π

1.若 x2>x1,则AB与向量m同向

向量AB.向量m=(x2-x1).1+(y2-y1)*k=(1+k²).(x2-x1) α=0

2.若x2<x1: 向量AB和向量m 反向.

向量AB.向量m=(x2-x1).1+(y2-y1)*k=(1+k²).(x2-x1) α=π

|向量m|=

设AB的距离为d: d>0,

则d=||AB||=|向量AB.向量m|/|向量m|cosα=|(1+k²)(x2-x1|/|向量m|.|cosα|=

d=|x₁-x₂|

总结: 在使用点积公式得时候AB之间的距离需要再|AB|模长上在加上一个绝对值,这是因为点积可以为正也可以为负. (同向夹角为0,反向夹角为π),d>0,所以d=||AB||